Клелия (кривая)

Клелия при [math]\displaystyle{ c=1/4. }[/math]

Проекции клелий на экваториальную плоскость при различных [math]\displaystyle{ c. }[/math] Части кривых на тыльной стороне сферы изображены пунктирными линиями.

Кле́лия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

[math]\displaystyle{ \varphi=c\,\theta, }[/math]

где переменные [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — соответственно азимутальный и зенитный углы, [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728) и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость [math]\displaystyle{ \theta=\pi/2 }[/math] являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство

Запишем уравнение клелии в виде [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\varphi}{c} }[/math] и возьмём от обеих частей синус: [math]\displaystyle{ \sin\theta=\sin\frac{\varphi}{c}. }[/math]

Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом [math]\displaystyle{ \rho=r\sin\theta }[/math] уравнение кривой можно записать как [math]\displaystyle{ \frac{\rho}{r}=\sin\frac{\varphi}{c}. }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ r }[/math] на сфере постоянна; обозначим её [math]\displaystyle{ r=a. }[/math] Обозначим [math]\displaystyle{ \frac{1}{c}=k. }[/math] Обе константы положительны.

Получаем [math]\displaystyle{ \rho=a\sin k\varphi }[/math] — уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа [math]\displaystyle{ c }[/math] равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при [math]\displaystyle{ c=1, }[/math] является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный [math]\displaystyle{ \left(\theta=0\right) }[/math] и южный [math]\displaystyle{ \left(\theta=\pi\right) }[/math] полюса сферы. При рациональном [math]\displaystyle{ c }[/math] кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.

Ссылки

• Clelia на сайте Mathcurve.com (Архивная копия от 2 января 2021 на Wayback Machine)

Клелии. На рисунках [math]\displaystyle{ m=1/c. }[/math]